La dé-transposition de connaissances scolaires

Abstract

The first part presents surprising results drawn from an experimental study about the use of some forms of reasoning; this study brings into light some clumsiness, sometimes even « errors » both among teachers and students of mathematics.

In a second part, we consider those facts in the light of theoretical and experimental results of didactics, relevant to the general development of the students’ conceptions. We then introduce a kind of threshhold where we find those exercises for which two conceptions provide contradictory bits of knowledge, with the first conception as a possible obstacle to the second one. Those difficulties can be interpreted as follows: some transposed concepts, presented to the student at some point in their schooling, have to be de-transposed later. It turns out that this de-transposition often is not taken into account, and is not carried out.

In a third part we study similar cases where a de-transposition is not realized: proof of an equality, reasoning by analysis and synthesis, using graphs in school reasoning.

Finally, some precisions about the concept of de-transposition are given.

Resumen

La primera parte presenta resultados sorprendentes extraidos de un estudio experimental basado en el uso de ciertas formas de razonamiento; este estudio hace aparecer algunas torpezas, incluso a veces « errores » a la vez en los docentes y en los estudiantes de matemáticas.

En la segunda parte, consideramos estos hechos, a la luz de los resultados teóricos y experimentales de la didáctica, relativos al desarrollo general de las concepciones de los alumnos. Introducimos entonces una especie de umbral donde se encuentran algunos problemas en los cuales dos concepciones proponen conocimientos contradictorios; entonces, la primera concepción puede constituir un obstáculo para la segunda. Estas dificultades pueden ser interpretadas de la siguiente manera: ciertas nociones transpuestas, presentadas a los alumnos en algun momento de su curso escolar, deberían ser destranspuestas mas tarde. Ahora bien, a menudo, esta destransposición no se toma en cuenta y no se realiza.

En una tercera parte, estudiamos algunos casos similares donde una detransposición no se realiza: demostración de una igualdad, razonamiento por análisis y síntesis, utilización de gráficos en el razonamiento escolar.

Finalmente, se dan algunas precisiones sobre la noción de destransposicíon.

Résumé

La première partie présente des résultats surprenants extraits d’une étude expérimentale sur l’usage de certaines formes de raisonnements ; cette étude fait apparaître des maladresses, parfois même des « erreurs » à la fois chez les enseignants et chez les étudiants en mathématiques.

Dans la deuxième partie, nous envisageons ces faits à la lumière des résultats théoriques et expérimentaux de la didactique, relatifs au développement général des conceptions des élèves. Nous introduisons alors une sorte de seuil où se trouvent des problèmes sur lesquels deux conceptions proposent des connaissances contradictoires, la première conception pouvant constituer un obstacle à la seconde. Ces difficultés peuvent être interprétées ainsi : certaines notions transposées, présentées à des élèves à un moment de leur cursus scolaire, devraient être détransposées par la suite. Or, souvent, cette dé-transposition n’est pas prise en compte et n’est pas réalisée.

Dans une troisième partie, nous étudions des cas similaires où une dé-transposition n’est pas réalisée : démonstration d’une égalité, raisonnement par analyse et synthèse, utilisation des graphes dans le raisonnement scolaire.

Enfin, des précisions sur la notion de dé-transposition sont données.