Spécificités de la preuve et de la modélisation en mathématiques discrètes

Abstract

The article presents bases of a research aimed in the long run towards the construction an «ambiant environment» for discrete mathematics, a construction which would not only facilitate the first acquaintance to this mathematical field, but would also provide an alternative approach to some transversal concepts, such as proof and modelization. The study which has been achieved here only involves an «a priori» analysis, prior to any attempt of elaboration of didactical engineering.

After a brief discussion of discrete mathematics as a scholar knowledge, we provide some elements of their ecology in the secondary educative organization in France; in particular, we study their status and role in pupils’curricula and manuals. For instance, we show that this mathematical field is in fact most often approached in a casual and unofficial manner, frequently in combination whith other mathematical knowledge and thus diverted from its real significance. We then develop our thesis on possibilities offered by discrete mathematics as a tool for learning techniques of proof and modelization. In order to support our thesis, we reinvestigate some characteristics of proof prctice in geometry at the «College» level, which we put in perspective with specificities of proof practice in discrete mathematics, especially from the viewpoint of truth checking and validation.

Resumen

Este articulo presenta las bases de una investigacion cuyo objetivo es a largo plazo, la construccion de un «medio» que no solamente permita una introduccion en este campo matematico, sino tambien una aproximacion alternativa y diferente de conceptos transversales, tales como la prueba y la modelizacion. El estudio, que ha sido realizado aqui, corresponde a un analisis «a priori» en el sentido de que es un analisis epistemologico y didactico que precede necesariamente a la construccion de ingienerias didacticas.

Despues de haber descrito las matematicas discretas como conocimiento escolar, o como «saber sabiendo», nosotros damos algunos elementos de su ecologia en las instituciones de la escuela secundaria en Francia : en particular, el lugar y el rol que ocupan dentro de los cursos y manuales. Por ejemplo, mostramos que este campo de las matematicas esta, de hecho, mas a menudo presente de una forma ocasional y oficiosa, y ademas unida muchas veces a otros conocimientos matematicos, lo que le desvia de su verdadera significacion. Nosotros ademas desarrollamos nuestra tesis sobre las posibilidades que ofrecen las matematicas discretas como herramienta para el aprendizaje de la prueba y la modelizacion. Para apoyar esta tesis, recordamos algunas caracteristicas de la prueba de geometria en el Bachillerato, que asociamos con las especificas de la prueba de matematicas discretas, en particular desde el punto de vista de la revision y validacion de la verdad.

Résumé

Cet article présente les bases d’une recherche dont l’objectif à long terme est la construction d’un «milieu» pour les mathématiques discrètes susceptible de permettre non seulement une introduction à ce domaine mathématique, mais aussi une approche différente de concepts transversaux, tels la preuve et la modélisation. L’étude réalisée ici correspond à une analyse «a priori» au sens où c’est une analyse épistémologique et didactique qui précède nécessairement la construction d’ingénieries didactiques.

Après avoir décrit brièvement les mathématiques discrètes en tant que savoir savant, nous donnons quelques éléments de leur écologie dans les institutions didactiques du secondaire en France : en particulier, leur place et leur rôle dans les cursus et les manuels. Nous montrons, par exemple, que ce domaine des mathématiques est en fait présent de manière occasionnelle et officieuse, mais souvent attaché à d’autres savoirs mathématiques et détourné de sa signification. Nous développons ensuite notre thèse sur les possibilités qu’offrent les mathématiques discrètes pour l’apprentissage de la preuve et de la modélisation. Pour appuyer cette thèse, nous rappelons quelques caractéristiques de la preuve en géométrie au collège, que nous mettons en parallèle avec des spécificités de la preuve en mathématiques discrètes, en particulier du point de vue de l’enjeu de vérité et de la validation.