Problèmes de dénombrement et émergence de premiers modèles fonctionnels

Résumé

Les travaux exposés ici concernent l’enseignement de la modélisation fonctionnelle au sens d’une catégorisation de phénomènes diversifiés, extra ou intra-mathématiques, par le biais de modèles fonctionnels paramétrés. Après une analyse a priori montrant l’opportunité d’un tel créneau dans l’enseignement des fonctions, la double algébrisation que ce processus de modélisation suppose, les obstacles inhérents aux ‘variables temporelles’, l’ambiguïté de la notion de variable et le rôle joué par la dénotation, nous examinons dans quelles conditions l’étude de suites de nombres figurés peut constituer une première approche de la modélisation ainsi pensée dès les premières années de l’enseignement secondaire. Le dispositif expérimental fait partie d’une ingénierie innovante relative à l’émergence de modèles fonctionnels comme outils de catégorisation de phénomènes divers. Les expérimentations dans les classes mettent en évidence plusieurs variables didactiques, dont le type même de modèle fonctionnel mobilisé, les progressions arithmétiques et géométriques ayant un statut particulier. Il s’agit là de variables qu’il vaut mieux ne pas ignorer si l’on veut concevoir, avec quelque chance de succès, des jeux adidactiques d’initiation au processus de modélisation.

Mots-clés: Modélisation fonctionnelle intra-mathématique, covariation, variable, dénotation, formules, transformations algébriques, formules équivalentes, paramétrage, catégorisation, modèles fonctionnels.

Abstract

Problems of enumeration and emergence of first functional models

The works presented here concern the teaching of functional modeling in the sense of a categorization of diverse extra- or intra-mathematical phenomena by means of parameterized functional models. After an a priori analysis showing the opportunity provided by such a gap in the teaching of functions, the double algebraization that this modeling process supposes, the inherent obstacles in “temporal variables,” the ambiguity of the notion of variable, and the role played by the denotation, we examine the conditions under which the study of sequences of figurative numbers can constitute a first approach to modeling thus understood from the first years of secondary school. The experimental device is a part of an innovative engineering relative to the emergence of functional models as tools for categorizing diverse phenomena. The experiments in the classes highlight several didactic variables, among which, as a type of mobilized functional model, arithmetical and geometrical progressions have a special status. There are variables that it is better not to ignore if one wants to generate, with some chance of success, adidactic games of initiation into the modeling process.

Key words: intra-mathematical functional modelling, covariation, variable, denotation, formulae, algebraic transformations, equivalent formulae, parameter setting, categorization, functional models.

Resumen

Problemas de enumeracion y emergencia de primeros modelos funcionales

Los trabajos expuestos aquí conciernen a la enseñanza de la modelación funcional en el sentido de una caregorización de fenómenos diversos, extra o intra-matemáticos, a través de modelos funcionales paramerizados.

Después de un análisis a priori que muestra la oportunidad de este punto de vista para la enseñanza de las funciones, la doble algebrización que este proceso de modelación supone, los obstáculos inherentes a las ‘variables temporales’, la ambiguedad de la noción de variable y el rol jugado por la notación, hemos examinado en qué condiciones el estudio de secuencias de números figurados puede constituir una primera aproximación a la modelación, pensada de esta manera  desde los primeros años de la enseñanza secundaria.

El dispositivo experimental forma parte de una ingeniería innovadora relativa a la emergencia de modelos funcionales como herramientas de categorización de fenómenos diversos. Las experimentaciones en las clases ponen en evidencia  algunas variables didácticas, entre las cuales el mismo modelo funcional movilizado, las progresiones aritméticas y geométricas con un estatus particular. Se trata aquí de variables que más vale no ignorar si se quiere elaborar con alguna esperanza de éxito, juegos adidácticos de iniciación al proceso de modelación.

Palabras claves: modelación funcional intra-matemática, covariación, variable, denotación, fórmulas, transformaciones algebraicas, fórmulas equivalentes, parametrización, categorización, modelos funcionales.