Des mathématiques pour enseigner ?

Des connaissances mathématiques pour enseigner les mathématiques élémentaires ? est-ce bien utile ? Cela change-t-il quelque chose à l’enseignement ? et si oui, de quelle manière ?

Cet ouvrage, qui s’adresse aux chercheurs en didactique intéressés par les questions liées au rôle de l’enseignant, aux formateurs d’enseignants, mais aussi aux enseignants et aux étudiants, apporte des éléments de réponse à ces questions. Chaque partie de l’ouvrage est articulée autour d’une question :

 Que sont les connaissances mathématiques pour enseigner et comment catégoriser ces connaissances ?

 Quelles sont les connaissances mathématiques des enseignants au niveau local (suisse romande) comparées à celles des enseignants chinois ou étatsuniens ?

 Quelle influence les connaissances mathématiques des enseignants ont-elles sur leur enseignement de l’algorithme de la multiplication ?

 Quel est le lien, sur un épisode d’enseignement, entre les connaissances mathématiques et les décisions didactiques ?

 Quelle est la corrélation entre les connaissances mathématiques pour l’enseignement et la pertinence mathématique ?

Au fil des questions, l’analyse est effectuée avec un grain de plus en plus fin. elle utilise d’une part la catégorisation des connaissances mathématiques pour l’enseignement de Ball et de ses collègues étatsuniens et d’autre part la structuration du milieu et la pertinence mathématique de l’enseignant issues de la théorie des situations didactiques. La conclusion de l’ouvrage ouvre sur la question des connaissances mathématiques dans l’acte d’enseignement et de l’évolution de ces connaissances au long de la vie professionnelle des enseignants.

SOMMAIRE

PRÉFACE
PRÉAMBULE
INTRODUCTION

QUELLES CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES POUR ENSEIGNER ? UNE QUESTION OUVERTE

D’une question de formateur à ce livre
1. Origine de la recherche
2. Plan de l’ouvrage

Influence des connaissances mathématiques des enseignants sur les performances des élèves
1. Portée de la question
2. Mesures de l’influence, quelques revues d’études et quelques chemins d’influence

Quelles catégorisations des connaissances mathématiques des enseignants ?

1. Les catégories de Shulman
2. Les adaptations du PCK aux connaissances mathématiques des enseignants

3. Connaissances mathématiques et conception des mathématiques
4. Connaissance et savoir

La place de l’enseignant dans les modélisations proposées par la didactique française des mathématiques
Pour répondre à nos questions

PARTIE 1
QUELLES SONT LES CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES DES ENSEIGNANTS VAUDOIS COMPARÉES À CELLES DES ENSEIGNANTS CHINOIS OU ÉTATSUNIENS ?

Liping Ma : les connaissances mathématiques des enseignants sous l’éclairage de comparaisons internationales
1. Les comparaisons internationales au sujet des connaissances mathématiques des enseignants
2. La connaissance et l’enseignement des mathématiques élémentaires en Chine et aux USA : l’étude de Liping Ma
3. D’autres comparaisons des connaissances mathématiques des enseignants entre la Chine et les USA

USA-Chine-Vaud : Le dispositif de recherche

1. L’étude de Ma : recueil des données
2. Notre dispositif de recueil des données

Comparaison des résultats
1. Première question : soustractions avec retenues
2. Deuxième question : multiplication de nombres à plusieurs chiffres
3. Troisième question : division par une fraction
4. Quatrième question : la relation entre périmètre et aire
5. Résultats globaux

Les connaissances mathématiques des enseignants vaudois : entre deux extrêmes

PARTIE 2
QUELLE INFLUENCE LES CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES DES ENSEIGNANTS ONT-ELLES SUR LEUR ENSEIGNEMENT DE L’ALGORITHME DE LA MULTIPLICATION ?

L’algorithme de la multiplication par un nombre à deux chiffres : éléments d’analyse épistémologique
1. Connaissances en jeu autour de l’algorithme
2. La multiplication par 10
3. Erreurs dans l’algorithme
4. Des manières d’introduire l’algorithme: quelques variables didactiques

Cadre théorique
1. Les catégories de Ball
2. La pertinence mathématique du professeur
3. Le milieu et sa structuration

Dispositifs de recueil et d’analyse des observations
1. Recueil et traitement des données
2. Les quatre enseignants et leur classe

Les quatre séquences
1. Dominique / 2. Sacha / 3. Camille / 4. Andrea

Le moment d’explication de l’algorithme
1. Le moment d’explication
2. La séparation en deux lignes puis l’addition : le lien avec la distributivité
3. L’alignement et la gestion des retenues : le lien avec la numération décimale de position
4. Et le zéro ?
5. Les représentations de la multiplication

Analyse globale par enseignant

PARTIE 3
QUEL LIEN ENTRE CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES, BIFURCATIONS DIDACTIQUES ET PERTINENCE ? ANALYSE D’UN ÉPISODE

Analyse descendante du point de vue de l’enseignant
1. Niveau +3 : situation noosphérienne
2. Niveau +2 : situation de construction
3. Niveau +1 : situation de projet
4. Niveau 0 : situation didactique
5. Niveau -1 : situation d’apprentissage
6. Résumé de l’analyse descendante

Analyse ascendante du point de vue de l’élève

1. Niveau -3 : situation objective
2. Niveau -2 : situation de référence
3. Niveau -1 : situation d’apprentissage
4. Niveau 0 : situation didactique

Démultiplication de la situation S0
1. Analyse a posteriori de l’épisode 1-4
2. Situations de niveau 0 effectives et situations déterminées a priori
3. Connaissances mathématiques pour l’enseignement, pertinence et bifurcations didactiques

PARTIE 4
QUELLE EST LA CORRÉLATION ENTRE LES CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT ET LA PERTINENCE MATHÉMATIQUE ?

Quel est le lien entre connaissances mathématiques spécifiques et connaissances mathématiques communes ?
1. CMS incorrectes ou superficielles et CMC correctes
2. CMC incorrectes
3. CMC correctes et CMS correctes

Existe-t-il une corrélation entre les CME et la pertinence mathématique ?
1. Absence de CME
2. Présence de CME erronées
3. Présence de CME correctes

CONCLUSION
DES CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES DANS L’ACTE D’ENSEIGNEMENT

Synthèse des résultats et de leur discussion

1. Des connaissances prédicatives aux connaissances opératoires : l’algorithme de la multiplication
2. Des réponses à nos questions de recherche
3. Les modèles utilisés

Ouverture en guise de conclusion: l’évolution des connaissances mathématiques pour l’enseignement chez les enseignants

ANNEXES

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES