Developing Kleinian Praxeologies: The Case of the Integral

Abstract – In this paper, we pursue Winsløw’s modelling of Klein’s second discontinuity, within the Anthropological Theory of the Didactic (ATD), by introducing the notion of Kleinian praxeologies. These new praxeologies are built from praxeological blocks from existing praxeologies, from upper high school and university, to underline their links in mathematics teacher training. Then we present the results of an experiment, conducted according to the methodology of Didactic Engineering, which aims at the development of Kleinian praxeologies by teacher students. Our case study focuses on the integral of upper high school, in its links with Measure Theory taught at the university, in France. These links are described in terms of dominant praxeological models, enriched by Kleinian praxeologies. The data are analyzed using the different tools of the “questioning the world paradigm”, in ATD (the questions-answers map and the Herbartian schema, for the study of chronogenesis and mesogenesis, respectively). The methodology allows a fine-grain analysis of the students’ work and opens many perspectives for didactic research on Klein’s second discontinuity, whether for the study of students’ difficulties in linking elementary and advanced knowledge or for didactic engineering that aims to strengthen these links.

Key words: Klein’s second discontinuity, Anthropological Theory of the Didactic, Kleinian praxeologies, measure and integration.

Resumen

DESARROLLO DE LAS PRAXEOLOGÍAS KLEINIANAS: EL CASO DE LA INTEGRAL

En este trabajo, seguimos la modelización de Winsløw de la segunda discontinuidad de Klein, dentro de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), introduciendo la noción de praxeologías kleinianas. Estas nuevas praxeologías se construyen a partir de bloques praxeológicos de praxeologías existentes, de la escuela secundaria superior y de la universidad, con el fin de subrayar sus vínculos en la formación de profesores de matemáticas. A continuación, presentamos los resultados de un experimento, realizado según la metodología de la Ingeniería Didáctica, que tiene como objetivo el desarrollo de praxeologías kleinianas por parte de los estudiantes de magisterio. Nuestro estudio de caso se centra en la integral del bachillerato, en sus vínculos con la Teoría de la Medida enseñada en la universidad, en Francia. Estos vínculos se describen en términos de modelos praxeológicos dominantes, enriquecidos por las praxeologías kleinianas. Los datos se analizan utilizando las diferentes herramientas del « paradigma del cuestionamiento del mundo », en ATD (el mapa de preguntas-respuestas y el esquema herbartiano en particular, para el estudio de la cronogénesis y la mesogénesis, respectivamente). La metodología permite un análisis fino del trabajo de los alumnos y abre muchas perspectivas para la investigación didáctica sobre la segunda discontinuidad de Klein, ya sea para el estudio de las dificultades de los alumnos para vincular los conocimientos elementales y los avanzados o para la ingeniería didáctica que pretende reforzar estos vínculos.

Palabras-claves: La segunda discontinuidad de Klein, Teoría Antropológica de lo Didáctico, praxeologías kleinianas, medida y integración.

Résumé

Développement des praxéologies de Klein : le cas de l’intégrale

Dans cet article, nous poursuivons la modélisation de la seconde discontinuité de Klein par Winsløw, dans le cadre de la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD), en introduisant la notion de praxéologies de Klein. Ces nouvelles praxéologies sont construites à partir de blocs praxéologiques issus de praxéologies existantes, du lycée et de l’université, afin de souligner leurs liens dans la formation des enseignants de mathématiques. Nous présentons ensuite les résultats d’une expérimentation, menée selon la méthodologie de l’Ingénierie Didactique, qui vise le développement de praxéologies de Klein par des étudiants en formation des enseignants. Notre étude de cas porte sur l’intégrale du lycée, dans ses liens avec la théorie de la mesure enseignée à l’université, en France. Ces liens sont décrits en termes de modèles praxéologiques dominants, enrichis par les praxéologies de Klein. Les données sont analysées à l’aide des différents outils du « paradigme du questionnement du monde », en TAD (le question-gramme et le schéma herbartien notamment, pour l’étude de la chronogenèse et de la mésogenèse, respectivement). La méthodologie permet une analyse fine du travail des étudiants et ouvre de nombreuses perspectives pour la recherche didactique sur la seconde discontinuité de Klein, que ce soit pour l’étude des difficultés des étudiants à relier les savoirs élémentaires et avancés ou pour une ingénierie didactique visant à renforcer ces liens.

Mots-Clés : seconde discontinuité de Klein, Théorie Anthropologique du Didactique, praxéologies de Klein, mesure et intégration.