Didactique et acquisition du concept de volume

Résumé

Toutes les études ci-après portent sur l’acquisition et la didactique du concept de volume au debut de l’enseignement secondaire. Elles ont été conduites en complément les unes des autres, et se placent dans le cadre plus général de l’étude des «structures multiplicatives», à laquelle l’équipe s’est consacrée depuis plusieurs années. Le volume est une grandeur physique qui peut éventuellement être mesurée directement (cas des récipients) : elle supporte à ce titre des propriétés propres aux mesures unidimensionnelles. En même temps la mesure du volume peut être calculée par une combinaison d’informations sur des grandeurs d’une autre nature (longueurs et surfaces notamment) : cela met en ceuvre, au-delà des formules (parallélépipède prisme, pyramide, sphère…), une conception tridimensionnelle du volume.

L’introduction établit le cadre théorique et la méthodologie des études rapportées ensuite. Elle met notamment l’accent sur la nécessité d’une approche cognitiviste et génétique, qui soit rapportée à des contenus de connaissance spécifiques. Elle invoque généralement la nécessité de recourir à plusieurs méthodes complémentaires : entretiens, expériences planifiées, expériences didactiques, étude de manuels, etc…

La première recherche porte sur les conceptions et les compétences des élèves des quatre classes du cycle des collèges (11-15 ans), dans plusieurs types de problèmes : calcul d’un volume&emdash;recherche du rapport de deux volumes dont les mesures linéaires sont dans un rapport connu&emdash;calcul d’une mesure élémentaire. Les procédures sont analysées dans le détail, ainsi que les formulations utilisées par les élèves pour expliquer ce qu’est le volume. Cette recherche met en évidence les difficultés durables auxquelles se heurtent les élèves jusqu’à la fin du cycle des collèges (15 ans), ainsi que les principaux types d’erreur observés et les formulations évolutives employées.

La seconde recherche porte sur la construction d’une suite de situations didactiques destinée à des élèves de cinquième (12-13 ans) et sur l’observation des effets produits en classe. Une dizaine de séances de travail d’une heure, le commentaire qui en est fait, les observations qui résultent de l’expérimentation, sont rapportées d’une manière synthétique. Des protocoles sont cités pour montrer les difficultés inhérentes à la comparaison des volumes « pleins » et à l’évaluation de leur mesure par des moyens indirects. De même le pavage du parallélépipède rectangle fait surgir un incident critique (cube du coin), qui traduit la contradiction entre les conceptions unidimensionnelle et tridimensionnelle du volume. Certaines situations sont destinées à consolider la conception unidimensionnelle du volume et à analyser certaines propriétés, qui découlent de cette conception; d’autres situations visent au contraire à mettre en défaut cette conception, afin de l’enrichir par la prise en considération des propriétés liées à la trilinéarité. Parmi les propositions didactiques expérimentées, figure l’utilisation d’un tableau de double dépendance qui permet d’exprimer clairement la linéarité d’une mesure produit par rapport aux mesures élémentaires dont elle est la composée.

La troisième recherche vise à évaluer les progrès accomplis par les élèves grâce à cette séquence didactique. Elle permet notamment d’analyser les progrès différents accomplis dans différents items du questionnaire.

Abstract

The different papers hereafter are all concerned with the acquisition and the didactics of the concept of volume, at the beginning of secondary school. They complement one another and take place in the general framework of the study of «multiplicative structures», which has occupied our researchgroup for several years. Volume is a physical magnitude that may eventually be measured directly (measure of containers) : consequently it has the same properties as other unidimensional magnitudes. Altogether the measure of volume can be calculated by combining information on other magnitudes (lengths and areas mainly) : this calculation involves, beyond formulas (parallelepiped, prism, sphere. . . ) a tridimensional conception of volume.

The introductive paper describes the theoretical framework and the methodology of the studies that follow. It stresses the necessity of a cognitivist and genetic approach, which should be related to the specific contents of knowledge involved. It also stresses the necessity to use different and complementary methods : interviews, designed experiments, didactic experiments, study of school-books, etc.

The tirst research aims at describing and understanding conceptions and competences of 11-15-year-old students, in different kinds of problems : calculate the volume of parallelepipeds – find the ratio of two volumes when you know the ratio of their linear measures – calculate a linear measure. ‘The procedure used by students are analyzed in detail, also the words used to explain what volume consists of. This study shows the long-lasting difficulties of the concept, even for 15-year-olds, and describes carefully the errors made and the evolution of the sentences used.

The second research describes a sequence of didactic situations aiming at teaching volume to 7th-graders, and also the results of obsetvation. The ten one-hour-lessons, the comments about them, the observed behaviors are reported in a synthetic way. Some protocols are also given that illustrate the difficulty of comparing «full-volumes» and of evaluating their measure by indirect procedures. A critical incident (the cube in the corner) is also described in the paving of the parallelepiped ; it comes out of the contradiction between a unidimensional conception of volume and a tridimensional one. Some situations are used to confirm the unidimensional conception and analyse the properties it conveys, some other situations are used to show other properties that enrich it with trilinear properties. Among other suggestions, a table is used to exhibit the dependence of a product-measure on the two independent elementary variables which compose it.

The third research aims at evaluating the progress made by students owing to this didactic sequence. It shows and analyzes different rates of progress on different items of the questionnaire.

Resumen

Los trabajos expuestos en este número se refieren a la adquisición y a la didáctica del concepto de volumen al comienzo de la enseñanza secundaria. Los mencionados trabajos fueron concebidos como complementarios y se sitúan en una perspectiva más general : el estudio de las «estructuras multiplicativas», que nuestro equipo ha explorado desde hace varios anos. El volumen es una magnitud física que puede ser eventualmente medida directamente (ejemplo de los recipientes), en ese caso el volumen soporta propiedades que son inherentes a las medidas unidimensionales. Pero al mismo tiempo la medida del volumen puede ser calculada mediante una combinación de informaciones sobre magnitudes de otra naturaleza (medidas lineales y superficies), esto implica, más que la simple utilización de fórmulas (paralelepípedo, prisma, pirámide, esfera…) una concepción tridimensional del volumen .

En la introducción del trabajo se presenta el marco teórico y la metodología utilizada en las diferentes investigaciones. Se insiste sobre la necesidad de un enfoque cognitivista y genético que debe realizarse sobre contenidos de conocimiento específicos. Se invoca igualmente la necesidad de recurrir a métodos variados complementarios : entrevistas, experiencias planificadas, experiencias didácticas, análisis de manuales, etc…

En la primera investigación se estudian las concepciones y las competencias de alumnos de cuatro clases del primer ciclo de la enseñanza secundaria francesa (11 à 15 años), a partir de diferentes tipos de problemas : cálculo del volumen, búsqueda de la relación entre dos volúmenes cuyas medidas lineales se presentan en una relación conocida – cálculo de una medida elemental. Los procedimientos son analizados en detalle, igual lo son las diferentes maneras en que los alumnos explican lo que es el volumen. Esta investigacíon pone de manifiesto, por una parte las dificultades que encuentra los adolescentes, dificultades éstas que se prolongan hasta la edad de 15 años, por otra parte se analizan los principales tipos de errores observados y las formulaciones evolutivas utilizadas.

La segunda investigación presenta la construcción de una serie de situaciones didácticas destinada a alumnos de 12-13 años y los resultados obtenidos en classe. Presentamos en forma sintética las diez sesiones de una hora cada una y las observaciones que resultan de la experimentación didáctica. Se presentan protocolos que ilustran las dificultades inherentes a la comparación de volúmenes «plenos» y a la evaluación de sus medidas cuando el alumno debe utilizar medios indirectos. Se cita igualmente el ejemplo de la construcción de un gran paralelepípedo a partir de pequeños cubos que hace surgir un incidente crítico (el cubo de la esquina), lo cual traduce la contradicción entre la concepción unidimensional y tridimensional del volumen. Algunas situaciones están destinadas a consolidar la concepcion unidimensional del volumen y a analizar determinadas propiedades que se desprenden de dicha concepción ; otras situaciones pretenden al contrario contradecir esta concepción para enriquecerla mediante la toma en consideración de propiedades ligadas a la trilinealidad. Entre las proposiciones didácticas utilizadas se presenta el empleo de un cuadro de doble dependencia, el cual permite expresar claramente la linealidad de una medida-producto en relación con las medidas elementales de la cual esta última esta compuesta.

La tercera investigación evalúa los progresos realizados por los alumnos a partir de la secuencia didáctica. Sus resultados permiten analizar los progresos realizados en los diferentes items del cuestionario.