Outils d’analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et à l’université

Abstract

In this article, we propose some tools for the analysis of mathematical notions which are taught to students of more than 15-16 years old. Our goal is to take into consideration the complexity and the specificity of the notions within the context of the curricula. We also develop some institutional expectations and hypotheses on teaching and learning in order to make our choices clear to the reader.

In the first part of the paper, the arguments on which the proposal is based are set out : we describe some professional practices and compare students’ expected and real practices. We give some results found previously on students’ learning and recall some elements of Vygotski’s theory.

In the second part, we set out the four characteristics (called dimensions) of the notions retained for our analysis. In the first three, we specify those features directly related to mathematics, and to the way in which notions occur in the curricula. We show how these curricula are taken into consideration by paying particular attention to the nature of the leap necessary to reach a new notion. The fourth dimension is related to the way in which students work on notions in exercises or problems (merely applying them or doing more).

In the two last parts of the paper, we suggest applications to scenarios and task analyses : it shows how the dimensions described may be used.

Resumen

En este artículo proponemos herramientas de análisis de nociones matemáticas para enseñar en el bachillerato y la universidad, teniendo en cuenta su especificidad y su complejidad, así como los programas de enseñanza, las expectativas institucionales, y las hipótesis sobre la enseñanza y el aprendizaje que admitimos y/o que queremos poner en juego. En la primera parte, precisamos de este modo sobre qué nos hemos apoyado : las características de las prácticas de los matemáticos profesionales, los elementos sobre las prácticas esperadas de los alumnos, los resultados intermediarios sobre las adquisiciones (resultados de investigaciones sobre las condiciones suficientes de aprendizaje y elementos inspirados en las teorías de Vygotski).

En la segunda, exponemos las cuatro dimensiones tenidas en cuenta. Las tres primeras precisan los caracteres directamente ligados a las nociones que se pretenden enseñar, tal y como aparecen en los programas (especialmente en cuanto a la inserción en la perspectiva matemática de los alumnos). La última dimensión, por el contrario, identifica diferentes puestas en funcionamiento posibles de las nociones en las actividades de los alumnos. La tercera parte está dedicada a la ilustración de una utilización de nuestras dimensiones para elaborar ciertos escenarios (sobre el plano de los contenidos).

Finalmente, indicamos una aplicación metodológica de lo que precede a los análisis de las tareas y actividades en estos niveles de enseñanza.

Résumé

Dans cet article, nous proposons des outils d’analyse des notions mathématiques à enseigner au lycée et à l’université prenant en compte leur spécificité et leur complexité, compte tenu des programmes d’enseignement, des attentes institutionnelles, et des hypothèses sur l’enseignement et l’apprentissage que nous admettons et/ou que nous voulons mettre en jeu.

Dans la première partie, nous précisons ainsi ce sur quoi nous nous sommes appuyée : des caractéristiques des pratiques des mathématiciens professionnels, des éléments sur les pratiques attendues de la part des élèves, des résultats intermédiaires sur les acquisitions (résultats de recherches sur des «conditions suffisantes» d’apprentissage et éléments inspirés de théories de Vygotski).

Dans la deuxième partie nous exposons les 4 dimensions retenues. Les trois premières précisent des caractères directement liés aux notions à enseigner telles qu’elles apparaissent dans les programmes (notamment quant à l’insertion dans le paysage mathématique des élèves). La dernière dimension, en revanche, repère différentes mises en fonctionnement possibles des notions dans les activités des élèves. La troisième partie est consacrée à l’illustration d’une utilisation de nos dimensions pour élaborer certains scénarios (sur le plan des contenus). Dans la dernière partie, nous indiquons une application méthodologique de ce qui précède aux analyses de tâches et d’activités à ces niveaux de scolarité.