Constructing meaning for linear equations: a problem of representation

Abstract

This research deals with the construction of meaning for linear equations by 15 year old students. This meaning is analysed in the framework of a model of understanding which on one hand distinguishes between mathematical form and mathematical content and, on the other hand, identifies four modes of understanding: instrumental, relational, intuitive and formal.

Regarding the acquisition of such understandings, Piaget’s theory of equilibration has been translated into a model, didactic reversal, which aims to transform the learning of algebra, essentially a problem of accomodation, into an assimilation process. This model perceives algebra as a representation of ideas originating from arithmetic and geometry, and its use allows the learner to establish equivalences between the various representations. The algebraic form being new to the student, he needs to first construct meaning for it by building on his knowledge of arithmetic and geometry. It is only following such an initial step that these constructions can be reversed.

A teaching outline based on the students’intuitive and operational notions from geometry has been experimented. These intuitive concepts have been included in a presentation which integrates the various modes of understanding into a teaching outline based on didactic reversal.

Résumé

Cette recherche porte sur la construction d’une signification pour des équations linéaires par des élèves de 15 ans. Cette signification est analysée dans le cadre d’un modèle de la compréhension, qui d’une part distingue entre le contenu et la forme mathématique, et d’autre part identifie quatre modes de la compréhension: instrumentale, relationnelle, intuitive et formelle.

Dans le contexte de l’acquisition de ces compréhensions, la théorie piagétienne de l’équilibration a été traduite par un modèle, le renversement didactique, visant à transformer l’apprentissage de l’algèbre, essentiellement un problème d’accommodation, en un processus d’assimilation. Ce modèle conçoit l’algèbre comme une représentation d’idées arithmétiques et géométriques, et son enseignement permet d’établir des équivalences entre les diverses représentations. La forme algébrique étant nouvelle pour l’étudiant, il doit en premier lieu s’en construire une signification en bâtissant sur ses connaissances arithmétiques et géométriques. Ce n’est qu’après cette première étape que les dites constructions peuvent être inversées.

Un guide pédagogique pour l’enseignement de la droite et de son équation, s’appuyant sur des conceptions intuitives et opérationnelles de notions géométriques, a été élaboré. Ces conceptions intuitives ont été incorporées à une présentation qui vise à intégrer les divers modes de compréhension dans un schéma basé sur le renversement didactique.

Resumen

Esta investigación trata de la construcción de un significativo para ecuaciones de primer grado por alumnos de 15 años. Se analiza este significativo dentro del sistema de un modelo de comprehensión que, de una parte, distingue entre el contenido y la forma matemática, y, de otra parte, que identifica cuatro modos de comprehensión: instrumental, relacional, intuitivo y relativo a la forma.

Dentro del contexto de adquisición de esas comprehensiones, la teoría de equilibración de Piaget ha sido traducida en un modelo, la reversión didáctica, que propone transformar el aprendizaje del álgebra basicamente un problema de acomodación, en un procedimiento de asimilación. El modelo percibe el álgebra como una representación de ideas aritméticas y geométricas y su ensenenza permite al estudiante establecer equivalencias entre las varias representaciones. La forma algebraica siendo nueva para el alumno, el estudiante necesita, en primer término, construirse un significativo basándolo en sus conocimientos aritméticos y geométricos. Sólo después de esta primera etapa puedan investirse dichas construcciones.

Una guía pedagógica para la ensenanza de la derecha y de su ecuación ha sido elaborada, basada en conceptos intuitivos y operacionales de nociones geométricas. Esos conceptos intuitivos han sido incorporados en una presentación que intenta integrar los varios modos de comprehensión dentro de un esquema basado en la reversión didáctica.