Calculs numériques et calculs relationnels dans la résolution de problèmes d’arithmétiques

Résumé

Dans cette recherche, je suis parti des observations de Vergnaud et Durand, à propos des problèmes additifs. J’ai éprouvé leurs hypothèses à l’analyse détaillée des calculs relationnels, examiné les raisonnements que l’on pouvait inférer des réponses des élèves, puis ai cherché à construire un modèle synthétique de ceux-ci de manière à opérer un retour sur la comparaison des énoncés. La clé de voûte de cette construction réside dans la distinction nombre/opérateur que je fais fonctionner à divers plans : celui du calcul numérique et des représentations que s’en fait le sujet, celui du calcul relationnel sur les énoncés pour gérer les rapports état/transformation ou encore transformation/bilan. C’est ici que s’effectue l’arithmétisation dans la résolution de ces problèmes.

Mathématiquement, l’analyse dessine quelques traits sur le passage de N à Z, ainsi que sur l’usage de notations algébriques dans la présentation de la résolution ou des calculs numériques. A ceci se rattachent un certain nombre d’observations sur le contenu des réponses : nombre/libellé. Des glissements de sens ont pu être repérés et leur fonction de facilitation ou d’impasse élucidée dans les divers types d’énoncés étudiés. On peut dès lors définir en chaque cas, pour un niveau de traitement donné, ce qui fait problème.

Abstract

The purpose of this research is some arithmetical problems studied by Vergnaud and Durand in their famous paper on additive structures. The origin of my work is the author’s observations : I have tested their main hypothesis with a detailed analysis of relational calculus, I have examined the reasonings which can be infered from the pupils answers and tried to build I synthetical model of these reasonings in order to reanalyze and compare the word problems themselves. The angular stone of this analysis consists to distinguish between number and operator which intervein on different levels : the level of numerical operations and the children’s representations associated with them, the level of relational calculus and the representations of state-transformations or transformations and their composition. This point is essential for the arithmetization in the word problem resolution.

From the mathematical point of view, my analysis shows some aspects of the passage from N to Z. It allows also to understand the use of algebraic notations in the children’s answers. Then I show some observations related to number and word answers, I show also many changes of meaning and their effect on problem solving : how in some cases they make the solving easier and in other cases they are obstacles for the correct resolution. Hence it is possible for each word problem to define where the problem lies.

Resumen

Entre los materiales pedagogicos utilisados para la ensenanza de las fracciones, encontramos a mencido las formas geométricas. La escogencia de estas formas parece basarse en las hipotesis siguientes: I) El nino concentra su atencion en la geometriLa de la forma, y 2) la realizacion de ciertas partes fraccionales se facilita con la escogencias de la forma. (Es decir, un triangalo para los fercios, un pentagono para los quintos). El objetivo de este proyecto era el estudio de la validacion de estas dos hipotesis, para lo cual se le solicito a los alumnos (de edades comprendidas entre 5 y 9 arios) que efectuaran la division de diversas formas geométricas empleadas a menudo para ensenar las fracciones en la escuela. El analisis de los resultados indica que estas hipotesis no son casi sostenibles. En vez de basarse en la geometriLa de la forma, con el objeto de decidir en criantas partes iguates partirla, los nin^Los se sirven de otros procedimiento o mecanismos. Nosotros hemos identificado criatro de esos mecanismos, los criales describiremos en este articulo.