Complexité mathématique et ordre d’acquisition : une hiérarchie de conceptions à propos des relatifs

Résumé

L’étude de hiérarchies de complexités est traités à 2 niveaux :

– un niveau local où l’ordre partiel décrit par les hiérarchies logiques sur un ensemble d’objectifs opérationnalisés d’enseignement est mis en relation avec l’ordre d’acquisition de ceux-ci. Le rôle des objectifs intermédiaires pour l’enseignement est discuté.

– un niveau plus général : celui du concept de nombre relatif. L’analyse des procédures de résolution d’exercices permet de dégager une hiérarchie de 4 conceptions de Z s’étageant de la 6ème à la 3ème (de 11 à 15 ans). Le passage d’un niveau à l’autre est analysé à l’aide de la théorie des obstacles didactiques. On tire de cette étude quelques éléments pour une didactique des relatifs.

Abstract

The study of hierarchies of complexities is treated at two levels :

– a local level where the partial order described by the logical hierarchies over a set of objectives is related to the order of their acquisition. The part played by intermediate objectives for teaching is discussed ;

– a more general level : that of the concept of relative number. The analysis of the procedures of problem solving makes it possible to establish a hierarchy of 4 conception or Z ranging from the first form to the fourth. Progress from a level to another is analyzed with the help of the theory of didactic obstacles. From this study are inferred some elements for a didactic of relatives.

Resumen

El estudio de jérarquias de complejidades se lleva a dos niveles :

– un nivel local en el que el orden parcial descrito por las jérarquias logicas que organizan un conjunto de objetivos se pone en relacion con el orden de adquisicion de los mismos. Se discute el papel de los objetivos intermedios para la enseñanza ;

– un nivel mas general : el de concepto de numero relativo. El analisis de los procedimientos de resolucion de varios ejercicios permite establecer una jerarquia de 4 concepciones de Z que se escalonan desde el curso primero hasta el cuarto. El paso de un nivel a otro se analiza mediante la teoria de los obstaculos didacticos. Se sacan de dicho estudio algunos elementos para una didactica de los relativos.