L’origine de la démonstration : essai d’épistémologie didactique

Résumé

L’emploi de la démonstration comme outil de preuve caractérise les mathématiques parmi les autres sciences. La démonstration apparaît de plus en France dans l’enseignement destiné aux enfants de treize ans.

L’article présenté ici étudie la genèse historique de la démonstration, en Grèce, au 5ème siècle avant J.C., en utilisant les travaux historiques existants, à partir de la problématique suivante : l’apparition de la démonstration est-elle liée à un problème interne aux mathématiques, ou à l’influence de la société grecque?

Du point de vue de la méthode, nous essayons en même temps de montrer que certains des concepts développés pour l’analyse des situations didactiques peuvent être éclairants pour examiner sa genèse historique.

Du fait de ce choix méthodologique, mais aussi du choix des questions abordées, nous parlons d’épistémologie didactique.

Les principaux résultats sont les suivants:

– la rencontre du problème de l’irrationalité est à l’origine de la transformation des mathématiques en science hypothético-déductive;

– cette transformation, qui implique l’emploi de la démonstration, mais aussi l’axiomatisation, c’est à dire le changement du statut des objets de la mathématique, a abouti au dépassement de la contradiction apparue par suite du problème de l’irrationalité, mais la solution retenue est liée à l’influence de la société grecque.

Abstract

Mathematical proof, which is a means for asserting the truth of a mathematical statement, gives mathematics a character distinct from that of the other sciences. In France, mathematical proof first appears in the curriculum of 13-years old pupils.

This paper studies the historical origins of mathematical proof, beginning in Greece in the 5th Century B.C., and it starts with the question : is the appearance of mathematical proof linked to a particular problem within mathematics or is it a consequence of the general course of Greek thought ?
We also try to show that certain concepts created in order to analyse didactical situations can shed light on historical origins as well.

This methodological choice and the choice of the questions we ask lead us to talk of a « didactical epistemology ».
The essence of our argument is that :

– the encounter with the problem of irrationality lies at the origin of the transformation of mathematics from a pragmatic to a hypothetico-deductive science;

– this transformation, which involved the use of mathematical proof as well as of axiomatisation, leads to the resolution of the contradictions associated with the problem of irrationality. The choice of this particular solution, though, depends on the character of Greek thought.

Resumen

El uso de la demostración como instrumento de prueba caracteriza a las mathemáticas mientras las otras ciencias. Ademas, la demostración aparece en Francia en la enseñenca para los alumnos de trece anos.

El artículo presentado aqui estudia la genesis histórica de la demostración, en Grecia, al quinto siglo antes J.C., usando los trabajos históricos existantes, a partir de la siguiente pregunta : es la aparicion de la demostracion enlazada con un problema interno a las matemáticas, o debido a la influenza de la sociedad grieca?

Desde el punto de vista del método, al mismo tiempo intentamos mostrar que algunos de los conceptos desarrollados para el análisis de las situaciones didácticas pueden iluminar a su genesis histórica.

En consideración a la elección del método, y tambien porque la pregunta de que se trata es típica de las preocupaciones didácticas, hablamos de epistemologia didáctica.
Los principales resultados son los siguientes:

– el encontro del problema de la irracionalidad esta al principio de la transformacion de las matemáticas en una ciencia que usa de la demostración para probar la verdad.

– esta transformación, que implica el uso de la demostracion pero igualmente de axiomas, es decir el cambio del estatuto de los objetos de la matemática, acabo al sobrepaso de la contradicción aparecida con el problema de la irracionalidad, pero la solución selecta dependia de las ideas de la sociedad grieca.