Analyse et réalisation d’une expérience d’enseignement de l’homothétie

Résumé

Suivant la logique de la géométrie euclidienne l’enseignement traditionnel présentait l’homothétie ou la similitude d’une façon «intrafigurale» à partir des propriétés des figures semblables. Ensuite la géométrie des figures disparaît de l’enseignement aux débuts du lycée, au profit de la géométrie par les transformations. Enfin les simplifications ultérieures des programmes ne proposent plus que l’étude de transformations, sans toutefois aller jusqu’à rétablir la géométrie des figures. Le bien-fondé de tels choix ne parait pas évident. Une analyse épistémologique montre en effet que l’évolution, depuis la Grèce antique jusqu’au début du XXème siècle, est marquée par des étapes, qui doivent être prises en compte pour l’enseignement de l’homothétie.

Notre première hypothèse est la nécessité, pour l’acquisition de la notion d’homothétie, d’une expérience préalable des différents types de figures qui peuvent se présenter. Cela exige une analyse figurative qui, sans être de nature strictement mathématique, a des finalités mathématiques. Notre seconde hypothèse est que pour l’exploration des liens qui existent entre les aspects figuratif et numérique, il faut séparer puis articuler ces deux aspects dans les tâches demandées aux élèves. On peut ainsi organiser un enseignement qui conduit à des résultats sensiblement supérieurs, au prix d’un coût en temps à peine supérieur à celui qui est couramment admis pour l’enseignement de ce sujet.

Abstract

In keeping with the logic of euclidian geometry traditional teaching presented the homothety or similarity in a « intarfigural » way based on the properties of similar figures. Afterwards geometry with figures disappeared from the programs at the beginning of secondary school, and was replaced by geometry by transformations. Finally subsequent simplifications of the programs propose only the study of transformations, without going as far as to restore geometry with figures. The validity of such selections is not so clear. An epistemological analysis shows in fact that its development, from ancient Greece to the beginning of the 20th century, is marked by stages which should be taken into account in the teaching of homothety.

Our first hypothesis is the necessity for the acquisition of the idea of homothety of an initial experience of the different types of figures which can occur. This requires figurative analysis which without being of a strictly mathematical nature has mathematical purposes.

Our second hypothesis is that for the exploration of relations that exist between the figurative and numerical aspects, we must first separate and then articulate these two aspects in the study work of students. In this way we can organize teaching which leads to much better results, and which takes hardly more time than that commonly accepted for the teaching of this subject.

Resumen

Según la lógica de la geometriá euclidiana la enseñanza traditional presentaba la homotecia o la semejanza de una manera « intrafigural » a partir de las de las propiedades de figuras semejantes. Después, la geometría de las figuras desaparece de la enseñanza a principios del liceo, en provecho de la geometría por las transformaciones. En fin, las simplificaciones posteriores de los programas no propenen más que el estudio de transformaciones sin restablecer sin embargo la geometría de las figuras. La justificación de tal selección no resulta evidente. Un análisis epistemológico muestra en efecto que la evolución, del concepto, desde la Grecia antigua hasta inicios del siglo XX, estátrazada por etapas, las cuales hay que tener en cuenta para la enseñanza cabal de la homotecia . Nuestra primera hipótesis es la necesidad, para la adquisición de la notión de la homotecia, de una previa experiencia de los diferentes tipos de figuras que pueden presentarse. Esto exige un análisis figurativo que, sin ser de naturaleza estrictamente matemático, tiene finalidades matemáticas. Nuestra segunda hipótesis es que, para la exploración de los lazos que existen entre los aspectos figurativo y numérico, es necesario separar y luego articular esos dos aspectos de las tareas pedidas a los alumnos. Se puede asíorganizar una enseñanza que conduzca a resultados sensiblemente superiores, al costo de un lapso de tiempo a penas superior a aquel empleado corrientemente para la enseñanza de este tema.