Contribution à l’étude didactique de la démonstration. Etude de régularités dans les modalités de fonctionnement du savoir mathématique dans les divers chapitres de géométrie d’un manuel de sixième

Résumé

Cet article propose une contribution à l’étude didactique de la démonstration. Nous avons tenté de dégager des régularités de fonctionnement du savoir mathématique dans les divers chapitres de géométrie d’un manuel de sixième, en étudiant les statuts possibles de trois objets: les figures, les constructions géomètriques et les énoncés de résultats. Ce terrain d’étude peut sembler paradoxal, mais nous tentons de montrer que l’univers de la démonstration est présent avant même que ne se fasse son introduction officielle sur le plan didactique. L’analyse a priori du manuel nous conduit à dire que l’élève peut satisfaire au contrat en tenant deux positions distinctes, l’une empirique et l’autre rationnelle plus idoine à ce qui sera attendu en termes de démonstration. Ces deux positions s’accompagnent de gestes non antagonistes, cependant la position rationnelle implique un assujettissement des gestes de la position empirique.

Abstract

This paper offers a contribution to the didactic study of proofs. We have tried to make apparent the regularity in the use of mathematical knowledge contained in various chapters of geometry of a 1st Year textbook. Possible definitions of three objects are studied: the figures, the geometric constructions and the terms of results. This kind of study may seem paradoxical but we are trying to show that the proof is present, even before the offical introduction on a didactic plan. The a priori analysis of the textbook lets us suppose that the pupil can follow by keeping two distinct attitudes: empirical and rational, the latter being more suitable to obtaining what is being asked in terms of proof. These two attitudes go with non antagonistic gestures. However, the rational attitude implies a subjection of those of the empirical.

Resumen

Este articulo propone una contribución al estudio didáctico de la demostración. Hemos intentado mostrar las regularidades de funcionamiento del saber matemático en los diversos capítulos de geometría de un libro de texto para alumnos de 11-12 años, al estudiar los posibles estatus de tres objetos: las figuras, las construcciones geométricas y los enunciados de resultados. Este terreno de estudio puede parecer paradógico; empero trataremos de mostrar que el universo de la demostración está presente incluso antes de que se haga su introducción oficial. El análisis a priori de este texto nos conduce a decir que el alumno puede optar por dos posiciones: compatibles con el contrato didactico: empírica y racional. Esta última es la más idonea en términos de la demonstración. Estas dos posiciones se acompañan de actitudes de nivel empirico no antagónicas. Sin embargo, la postura racional implica una nueva sujeción de la empírica.