« Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques ? »

Résumé

Il y a une question importante pour comprendre l’apprentissage des mathématiques par les élèves : le fonctionnement cognitif impliqué par l’acquisition de connaissances mathématiques est-il différent de celui impliqué par l’acquisition de connaissances dans d’autres disciplines ? Deux caractéristiques au moins sont typiques de l’activité cognitive impliquée dans les démarches mathématiques. D’une part, on y recourt à plusieurs registres de représentations sémiotiques, dont certains ont été spécifiquement développés pour effectuer des traitements mathématiques. D’autre part, les objets mathématiques ne sont jamais des objets accessibles par la perception comme cela peut l’être pour la plupart des objets dans les autres disciplines. D’où les deux questions que l’on retrouve au cœur de l’apprentissage : comment apprend-on à changer de registre et comment apprendre à ne pas confondre un objet avec la représentation que l’on en propose ? Beaucoup de difficultés dans l’apprentissage des mathématiques ont leur origine dans la méconnaissance, par l’enseignement, des phénomènes relatifs à ces deux questions.
Dans cet article, nous présentons quelques points-clés pour une analyse de fonctionnement cognitif qui prenne en compte les caractéristiques de l’activité mathématique et les difficultés récurrentes d’apprentissage qui subsistent à des niveaux et dans des contextes d’enseignement très différents. Dans la première partie, nous examinons l’opposition souvent admise entre représentations sémiotiques et représentations mentales : est-elle justifiée ou non ? Dans la deuxième partie, nous abordons les conditions du développement du fonctionnement cognitif de la pensée : celle-ci se fait par un processus de différenciation fonctionnelle des tout premiers registres de représentation sémiotique (la langue naturelle et la reproduction iconique de contours perçus ) et par la coordination des registres ainsi développés. Dans la troisième partie, nous présentons une méthode d’analyse des représentations sémiotiques par rapport aux registres et par rapport au tâches. Elle repose sur deux types de distinctions : d’une part, celle entre traitement et conversion et, d’autre part, celle entre les variations structurales, internes à un registre, et les variations cognitives, qui prennent en compte un changement de registre. De cette manière nous pouvons dégager des variables intrinsèques au fonctionnement de la pensée humaine.
Cette description de quelques points-clés entraîne deux déplacements théoriques, par rapport aux approches classiques de la cognition, celles issues des travaux piagetiens et celles issues des modélisations du traitement de l’information.

Abstract

There is an important topic about mathematics learning by students: is the cognitive way of working involved in acquiring mathematic knowledge truly different from the one involved in acquiring knowledge inside the others fields? Two features are typical of the cognitive actions involved in mathematic processes. Firstly, several registers of semiotic representation are brought into play and some were specifically elaborated for mathematic processings. Secondly, mathematical objects are never given and attainable in a perceptible experience like it can be the case for many objects in other fields. Hence these two issues: how to learn to move from an register to another one, and how to learn not to identify a mathematical object with one of its possible representation? A great deal of difficulties over mathematics learning originate in the misapprehension, in teaching, of the phenomena and data relative to these two issues.
In this paper we set out to explain some key points for a cognitive model of the human thinking under its conscious mode, which accounts for the cognitive features of the mathematic processes and the learning recurrent difficulties in various contexts and levels of teaching. In the first part, we examine whether the opposition, very often assumed, between semiotic representation and mental representation is justified or not. In the second part, we tackle the conditions of the cognitive development of human thinking : this one depends on a functional differenciation of the early registers of semiotic representation (native language and iconic reproduction of perceived oulines) and on the coordination of the registers developped. In the third part, we displays a method in order to analyse the semiotic way of working of the representation in relation to their register and to the tasks to perform. Two distinctions are basic : one between processing and conversion, the other between structural variations inside a register and cognitive variations into the register shift. So we can get some variables which are intrinsic to the human thinking.
This explanation of some key points leads to theoritical shiftings in comparison with the classic approaches of the cognitive processes, these stemming from the developmental trend and these from information-processing trend.

Resumen

Para comprender el aprendizaje de las matemáticas por parte de los alumnos, hay una pregunta importante: ¿Es distinto el funcionamiento cognitivo implicado por la adquisición de conocimientos matemáticos del implicado por la adquisición de conocimientos en las otras disciplinas? Hay al menos dos características que son típicas de la actividad cognitiva implicada en los procedimientos matemáticos. En primer lugar, en este caso se recurre a varios registros de representación semióticos, algunos de los cuales han sido desarrollados específicamente para efectuar tratamientos matemáticos. Por otra parte, los objetos matemáticos no son nunca objetos accesibles por la percepción, como podrían serlo la mayoría de los objetos de las otras disciplinas. Por ello se plantean dos preguntas que se vuelven a encontrar en lo que constituye el núcleo del aprendizaje : ¿Cómo se aprende a cambiar de registro y cómo se aprende a no confundir un objeto con la representación propuesta? Muchas de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas están originadas por el desconocimiento por parte del profesor de los fenómenos relativos a estas cuestiones.
En este artículo presentamos algunos puntos claves para un análisis del funcionamiento cognitivo que tenga en cuenta las características de la actividad matemática y las dificultades recurrentes de aprendizaje que subsisten en niveles y contextos de enseñanza muy distintos. En la primera parte, examinamos la oposición que se admite con frecuencia entre representaciones semióticas y representaciones mentales : ¿ Está justificada dicha oposición? En la segunda parte abordamos las condiciones del desarrollo del funcionamiento cognitivo del pensamiento : éste se construye mediante un proceso de diferenciación funcional de los primeros registros de representación semiótica (la lengua natural y la reproducción icónica de contornos percibidos) y mediante la coordinación de los registros así desarrollados. En la tercera parte presentamos un método de análisis de las representaciones semióticas relacionado con los registros y las tareas a realizar. Este método se basa en dos tipos de distinciones : la existente entre tratamiento y conversión, y, por otra parte, la que existe entre variaciones estructurales, internas de un mismo registro, y variaciones cognitivas, que tienen en cuenta un cambio de registro. De esta manera se pueden despejar las variables intrínsecas del funcionamiento del pensamiento humano.
Esta descripción de algunos puntos clave lleva consigo dos desplazamientos teóricos respecto a las aproximaciones clásicas de la cognición : las que surgen de los trabajos piagetianos y las surgidas de las modelizaciones del tratamiento de la información.