On the epistemology of integers

Résumé

Cet article examine les solutions données par Freudenthal et par Dienes pour le problème de la règle des signes. Il présente une solution alternative basée sur trois jeux visant à résoudre en action les quatre problèmes didactiques suivants : Comment enlève-t-on le plus grand du plus petit ? Comment soustrait-on un négatif ? Qu’est-ce que « fois moins » quelque chose signifie ? Pourquoi moins fois moins donne-t-il plus ? La réduction du problème didactique à ces quatre questions est justifiée par une analyse épistémologique basée sur les concepts d’abstraction réflective et de généralisation complétive. Quelques résultats de l’usage des jeux sont présentés. La stratégie didactique utiliseé est justifiée à partir de la théorie des situations et celle des champs conceptuels. Des difficultées dans l’analyse des donnés de la recherche, à partir de ces théories, sont discutées. Un nouveau réferentiel théorique basé sur les concepts de production de signifié et de champ sématique est introduit et la discussion épistémologique du problème de la règle de signes et de la structure multiplicative des relatifs est reprise. Les conclusions éclairent des difficultés des étudiants avec les conventions de signes dans l’enseignement de la physique.

Resumen

Este artículo examina las soluciones dadas por Freudenthal y por Dienes al problema de la regla de los signos. Se presenta una solución alternativa basada en tres juegos proyectados para resolver en acción los cuatro problemas didácticos : ¿Cómo restar el más grande del más pequeño ? ¿Cómo substraer un negativo ? ¿Qué significa « menos por » alguna cosa ? ¿Por qué menos por menos es más ? La reducción del problema didáctico a estas cuatro cuestiones es justificada por un análisis epistemológico basado en los conceptos de abstracción reflexiva y generalización completiva. Algunos resultados del uso de estos tres juegos son presentados. La strategia didáctica utilizada es justificada a partir de la teoría de las situaciones y de la teoría de los campos conceptuales. Dificultades en el análisis de los datos de investigación a partir de los referenciales de estas teorías son discutidas. Un nuevo referencial teórico basado en los conceptos de producción de significado y de campo semántico es introducido y la discusión epistemológica del problema de la regla de los signos y de la estructura multiplicativa de los enteros es retomada. Las conclusiones iluminan las dificultades de los estudiantes con las convenciones de signos en la enseñanza de Física.

Abstract

This paper discusses the solutions of Freudenthal and Dienes of the sign rule problem. It offers an alternative solution based on three games, intended to solve in action the four didactic problems: How to take the bigger from the smaller? How to subtract a negative? What does «minus-times» something mean? Why does minus times minus equal plus? The reduction of the didactic problem to these four questions is justified by an epistemological analysis from the point of view of reflective abstraction and completive generalization. Some results of uses of the games are reported. The didactic strategy is justified in terms of the theory of situations and the theory of conceptual fields. Difficulties in analyzing research data in the framework of these theories are discussed. A new theoretical framework based on the concept of production of meaning and of semantic fields is introduced and an epistemological discussion of the sign rule and of the multiplication structure of integers is retaken. The conclusions shed light on students’difficulties with the sign conventions in the teaching of physics.