Evaluation of a teaching design in linear algebra: the case of linear transformations

L’article rend compte de quelques aspects d’une expérience d’ingénierie didactique dans le domaine de l’algèbre linéaire, visant la création des conditions d’apprentissage permettant aux étudiants d’éviter ce qui a été appelé, dans la littérature, l’ »obstacle du formalisme ». L’article est centré sur la notion d’application linéaire et son introduction dans l’environnement informatique de Cabri-géomètre II. La méthodologie d’ingénierie didactique employée dans la recherche est fondée sur un cadre théorique qui fait appel à la sémiotique classique de Peirce et aux développements didactiques récents dus à Raymond Duval. La notion centrale de ce cadre théorique est celle d’objet mathématique et l’idée principale est que les objets mathématiques sont créés ou identifiés à travers les activités de traîtement et d’interprétation de représentations à l’intérieur et entre différents systèmes de signes. En évaluant le projet d’ingénierie, l’article se concentre sur les divergences entre les interprétations projetées des représentations dans Cabri des transformations linéaires et les interprétations effectivement produites par les étudiants dans notre expérience. Les sources de ces divergences se trouvent dans les imperfections du projet, les ambiguités des représentations en Cabri, mais aussi dans des facteurs inévitables de nature épistémologique et didactique. L’analyse a posteriori permet de dire que, malgré ses défauts, l’environnement Cabri a permis aux étudiants dans notre expérience d’éviter l’obstacle du formalisme et même de construire un certain nombre d’objets mathématiques robustes.

Resumen

Este artículo presenta una revisión de algunos aspectos de una experiencia de ingeniería didáctica dentro del áera de álgebra lineal recreando las condiciones de aprendizaje que permiten a los estudiantes evitar el desarrollo del llamado « obstáculo del formalismo ». Este artículo se enfoca en la noción de la transformación lineal y su introducción en el ambiente informático de Cabri-géomètre II. La metodología de ingeniería didáctica utilizada en esta investigación, se basa en un marco teórico que se apoya en la semiótica clásica de Peirce y en las investigaciones didácticas recientes de Raymond Duval. La noción central de este marco teórico es la del “objeto matemático” cuya idea central es que los objetos matemáticos son creados o identificados a través de las actividades de tratamiento y de interpretacion de representaciones entre los differentes sistemas de signos. En cuanto a la evaluación de diseño, el artículo se enfoca en las diferencias entre las interpretaciones proyectadas de las representaciones « Cabri » de las transformaciones lineales, y las interpretaciones producidas por los estudiantes en el experimento. Los orígenes de estas diferencias se encuentran en las ambigüedades de las representaciones de Cabri, en las imperfecciones del proyecto, así como también en ciertos factores inevitables de naturaleza epistemológica y didáctica. El análisis a posteriori del diseño permite afirmar que, a pesar de sus defectos, el ambiente Cabri permitió a los estudiantes evitar desarrollar el obstáculo del formalismo y también les permitió construir un cierto número de objectos matématicos robustos.

Abstract

The paper gives an account of some aspects of a didactic engineering experience in the domain of linear algebra, whose aims were to create learning conditions in which the students would avoid developing the so-called « obstacle of formalism ». The focus of the paper is on the notion of linear transformation and its introduction within a Cabri-geometry II environment. The methodology of didactic engineering used in the research is founded on a theoretical framework which draws on the classical Peirce’s semiotics and the recent contributions to educational research by Raymond Duval. The central notion of this framework is that of « mathematical object », and the main idea is that mathematical objects are created or identified through the activities of processing and interpretation of representations within and between different sign systems. In evaluating the design, the paper focuses on the discrepancies between the intended interpretations of the Cabri representations of linear transformations and those produced by the students in the experimentation of the design. The sources of these discrepancies are found in the ambiguities of the Cabri representations, in the flaws of the design, but also in unavoidable factors of epistemological and didactic nature. The a posteriori analysis of the design suggests that, in spite of its shortcomings, the Cabri environment did allow the students to avoid the development of the obstacle of formalism, and even to construct a number of quite robust mathematical objects.