Variations et variables de la démonstration géométrique

Abstract

We examine the practice of mathematical proof in geometry in the work of Euclid, Hilbert, and Legendre, each illustrated with specific examples. Our study shows the great variation in the forms of geometric proof, even in Hilbert’s books, according to variables that we enumerate. These differences come not so much from the underlying logic as from the choice of premises, particularly those one is allowed to read from the figure. This study also shows that among mathematicians, agreement on the practice of mathematical proof takes priority over agreement on the status of geometric objects.

Resumen

Examinamos la práctica de la demostración matemática en la geometría de Euclides, Hilbert y Legendre, ilustrándola en cada caso con ejemplos precisos. Este estudio muestra la gran variedad de formas de la demostración geométrica, inclusive en las obras de Hilbert, que es función de distintas variables de las que proponemos una lista. Esta variedad no se refiere tanto al uso de la lógica subyacente como a la elección de las premisas, particularmente de las que el matematico se permite leer sobre la figura. El estudio muestra también que para los matemáticos, el acuerdo sobre una práctica de la demostración es prioritario respecto a un acuerdo sobre el estatuto del objeto geométrico.

Résumé

Nous étudions la pratique de la démonstration en géométrie chez Euclide, Hilbert et Legendre en l’illustrant chaque fois par des exemples précis. Cette étude montre la grande variété des formes de la démonstration géométrique, y compris dans les ouvrages de Hilbert, en fonction de variables dont nous proposons une liste ; cette variété ne porte pas tant sur la logique sous-jacente que sur le choix des prémisses, en particulier de celles que l’on s’autorise à lire sur la figure. L’étude montre d’autre part que pour les mathématiciens, l’accord sur une pratique de la démonstration est prioritaire par rapport à un accord sur le statut de l’objet géométrique.