Ecriture, raisonnement et découverte de la démonstration en mathématiques

Abstract

The role of writing in mathematical activity raises three major problems for the learning of mathematics. Does comprehension of the reasoning in the steps of a proof occur only through oral expression or does it also require written work ? Does putting words in writing radically change the nature of the discourse that is produced ? How does one enable pupils to go from words to the writing of proofs ?

The present article primarily analyzes the first two problems by stressing that in the case of expression in natural language, writing often remains at a stage of simple transcription of oral expression. For mathematics learning, however, it is important to move to a written production that uses the specific cognitive possibilities of organization and control offered by the visual representation of discourse.

In mathematics, the passage from words to writing leads from a comment spoken in natural language to operational discourse in a symbolic register. However, one characteristic of situations of learning the steps of a proof in secondary school is that the operational discourse is expressed in natural language. That raises another type of problem : How does one distinguish the operational steps of reasoning from the other forms of discourse ?

A passage proves to be necessary from a transcription of what was said to a true written production. Various didactic situations, analyzed according to what they mobilize in the pupils’ cognitive operations, are likely to support this passage on the condition that they privilege the point of view of the production over that of the text produced, that is, in conformity with the conventions of written composition.

Resumen

El papel de la escritura en la actividad matemática plantea tres problemas importantes para el aprendizaje de las matemáticas. La comprensión de los razonamientos, principalmente en las demostraciones, ¿es accesible directamente mediante la mera expresión oral o requiere igualmente un trabajo de escritura ? El paso de la palabra a lo escrito, ¿cambia profundamente la naturaleza del discurso producido ? ¿Cómo hacer pasar a los alumnos de la palabra a la escritura de textos de demostración ?

En este artículo abordamos principalmente los dos primeros problemas, y los analizamos en el caso de la expresión en lenguaje natural, es decir, en el caso en el que la escritura permanece en el mismo registro de representación que la palabra. Sin embargo, es importante para el aprendizaje de las matemáticas distinguir bien una escritura cuyo funcionamiento cognitivo se reduce al de la expresión oral, de una producción escrita que, por contra, utiliza las posibilidades cognitivas específicas de organización y de control que ofrece la representación visual del discurso.

En matemáticas, el paso de la palabra a la escritura corresponde a un cambio de tipo de discurso : de un comentario en lenguaje natural a un discurso operatorio en un registro simbólico. No obstante, una de las particularidades de las situaciones de aprendizaje de los pasos de la demostración en secundaria es que el discurso operatorio se hace en lenguaje natural, lo que plantea otro tipo de problema : ¿cómo distinguir en este caso los pasos operatorios de razonamiento de las otras formas de discurso ? Para ello, el paso de una transcripción de lo que se ha dicho a una verdadera producción escrita se confirma como necesario.

Distintas situaciones didácticas, que pueden analizarse en función de lo que movilizan en el funcionamiento cognitivo de los alumnos, podrían favorecer este paso, a condición de privilegiar el punto de vista de la producción sobre el del texto producido, es decir, sobre la conformidad con las convenciones de redacción.

Résumé

Le rôle de l’écriture dans l’activité mathématique soulève trois grands problèmes pour l’apprentissage des mathématiques. La compréhension des raisonnements, dans les démarches de preuves, se produit-elle à travers la seule expression orale ou requiert-elle également un travail d’écriture ? Le passage de la parole à l’écrit change-t-il profondément la nature du discours produit ? Comment faire passer les élèves de la parole à l’écriture de textes de démonstration ?

Cet article analyse surtout les deux premiers problèmes, en soulignant que, dans le cas de l’expression en langue naturelle, l’écriture reste souvent à un stade de simple transcription de l’expression orale. Or pour l’apprentissage des mathématiques, il est crucial de passer à une production écrite qui utilise les possibilités cognitives spécifiques d’organisation et de contrôle qu’offre la représentation visuelle du discours.

Le passage de la parole à l’écriture, en mathématiques, conduit d’un discours commentaire en langue naturelle à un discours opératoire dans un registre symbolique. Or l’une des particularités des situations d’apprentissage des démarches de preuve, au collège, est que le discours opératoire s’y fait en langue naturelle. D’où un autre type de problème : comment distinguer les démarches opératoires de raisonnement des autres formes de discours ?

Le passage d’une transcription de ce qui a été dit à une véritable production écrite s’avère nécessaire. Différentes situations didactiques, analysées en fonction de ce qu’elles mobilisent dans le fonctionnement cognitif des élèves, sont susceptibles de favoriser ce passage, à condition de privilégier le point de vue de la production sur celui du texte produit, c’est-à-dire sur la conformité à des conventions de rédaction.