Un registre géométrique unidimensionnel pour l’expression des rationnels

Abstract

Geometric representation of rational numbers are usually considered to be simply illustrations facilitating the comprehension of the true objectives: learning the meaning of fractional and decimal expressions, constructed from the effect these have on magnitudes familiar to the learners and making simple calculations using these expressions. Nevertheless, certain obstacles often arise in such a learning process. To get past these, we found it useful to introduce rationals by means of a different register of expression. We chose to use a geometric representation, developed it into a veritable register, and used the possibilities allowed by computerization. We opted for the geometric register, however the dimensions 1 and 2 were competitive. Although dimension 1 requires a certain didactic investment, it permits the expression of rationals the best adapted to the development of the group of skills required in the mastery of these numbers. Our preliminary analysis of this problem was strongly validated by experimentation in the classroom over a two-year period. The dimension 2 produces rapid results but for a more limited number of skills, namely those concerning the part / whole relation, while the apprehension of a true ratio remains unclear. To verify this, a quick but precise presentation of fractions was programmed and put into practice: four teaching sessions in another class. Observation of the two groups of learners confirmed this difference between the dimensions 1 and 2, all the while allowing us to specify the nature of the difficulties encountered by the pupils.

Resumen

Las representaciones geométricas de los números racionales tienen en su empleo pedagógico común la apariencia de dibujos ilustrativos, que ayuden a entender lo que es el verdadero asunto del aprendizaje: el significado de los quebrados escritos y de los decimales, procedente de su aplicación a las magnitudes más conocidas por los alumnos y de su tratamiento por las operaciones elementales. Pero se sabe que el aprendizaje resultante se enfrenta a obstaculos resistentes. Para traspasarles sentimos la necesitad de diseñar una nueva introducción de los racionales apoyandonos en otra forma de expresarles. Con esta finalidad escogimos un modo de representación geométrica y le proveimos de los elementos complementarios, para que sea un registro acabado de expresión, con el provecho de la herramienta computacional. Competieron las dimensiones 1 y 2 para la elección del soporte geométrico. El coste didáctico de la dimensión 1 sale algo elevado, pero resulta que los racionales se expresarán así en una forma más adecuada al desarrollo del conjunto de habilidades que precisa su dominio. El análisis a priori fue ampliamente comprobado por la experiencia en el salón de clase que se llevo a cabo a lo largo de dos años escolares. Contrastan los exitos rapidos que constituyen el cumplimiento del uso de la dimensión 2, pero sólo relativos a ciertas habilidades, las que refieren al doble conteo parte/todo y no necesariamente al sentido de lo que es una proporción. La confirmación salio de la aplicación de una secuencia rapida (6 horas) pero cuidadosa de presentación de los quebrados en otra clase de escuela. Los resultados alcanzados por los alumnos de ambas clases confirmaron ampliamente las características que destacamos a proposito de las dimensiones 1 y 2, mientras nos abastecieron algunos suplementos de conocimiento en cuanto a la naturaleza de las dificultades que obstaculizen a los principiantes.

Résumé

Dans la pratique usuelle, on considère que les représentations géométriques des nombres rationnels ne sont que des illustrations aidant à comprendre ce que l’on envisage comme les véritables objets d’apprentissage : le sens des écritures fractionnaires et décimales, construit à partir de leur action sur les grandeurs familières aux élèves, et leur traitement par les opérations élémentaires. Mais on sait que l’apprentissage ainsi conduit se heurte à des obstacles résistants. Pour les dépasser, il nous est apparu nécessaire de proposer une introduction des rationnels qui s’appuie sur un autre registre d’expression. Dans ce but, nous avons choisi un mode de représentation géométrique et l’avons constitué en véritable registre, profitant, pour ce faire, de spécificités de l’outil informatique. Le recours à un registre géométrique s’imposait, mais les dimensions 1 et 2 se trouvaient en concurrence. Si la dimension 1 présente un coût didactique non négligeable, elle permet en revanche l’expression des nombres rationnels la plus adaptée au développement de l’ensemble de compétences nécessaires à leur maîtrise. L’analyse a priori a été, sur ce sujet, largement validée par une expérimentation d’enseignement, entreprise au cours de deux années scolaires dans une classe. La dimension 2, quant à elle, produit des réussites rapides, mais relatives à un nombre plus limité de compétences, à savoir celles concernant le double comptage partie/total et non pas nécessairement l’appréhension d’une proportion. Pour confirmation, une présentation rapide mais soignée des fractions a été programmée puis mise en œuvre, sur quatre séquences, dans une classe d’une seconde école. L’observation des élèves des deux classes concernées a nettement conforté ce qui vient d’être signalé sur la différence entre les dimensions 1 et 2, permettant au passage quelques précisions sur la nature des difficultés que des élèves peuvent rencontrer.