Fonctionnalités des représentations graphiques dans la résolution de problèmes d’analyse à l’université

Abstract

Numerous research studies have considered pupils’ interactions with graphical representations in mathematical activity at various levels of schooling. Our own research relates specifically to higher education and to the field of mathematical analysis. We attempt to identify the uses that graphical representations can have in this case, situating our work in the categorizations provided by Lacasta and Chauvat. In this article, after having specified the theoretical bases for the research, we first briefly present results concerning the institutional account of graphical representations resulting from an analysis of textbooks. We focus on some analysis problems used in the experimental phase of the research carried out in France and Italy with advanced students and mathematicians. We make an a priori analysis from the point of view of possible interventions by the graphic register and then confront that analysis with the productions of a group of Italian students before synthesizing the results. The results show a need to broaden our initial categorizations to take into account effectively the potential roles of the graphic register in the solution of such problems ; they also show that the necessary uses are not the responsibility of the pupil in secondary education. The difficulties encountered by the students show that mastery of these uses, obviously left to the students, is not easily attained.

Resumen

Existen un gran número de investigaciones dedicadas al estudio de las relaciones que establecen los alumnos con las representaciones gráficas en matemáticas. Este artículo concierne más precisamente el papel de las representaciones gráficas en la resolución de problemas de análisis matemático al nivel universitario. Intentamos identificar los diferentes funcionamientos que pueden tener las representaciones gráficas en este caso, apoyándonos en las categorías introducidas por Lacasta y Chauvat. En este artículo, después de clarificar los fundamentos teóricos de la investigación, presentamos brevemente los resultados relativos a la relación institucional a las representaciones gráficas, obtenidos mediante el análisis de libros de textos. Nos centramos después sobre uno de los problemas de análisis matemático que sirvieron de base a la fase experimental de la investigación, desarrollada en Francia y Italia, con estudiantes avanzados y matemáticos. Hacemos un análisis a priori de los papeles posibles del registro gráfico, luego enfrentamos este análisis a priori a las producciones de un grupo des estudiantes italianos, antes de sintetizar más globalmente los resultados obtenidos. Éstos muestran la necesidad de ampliar las categorías iniciales para tomar en cuenta de modo eficaz el papel potencial del registro gráfico en la resolución de tales problemas. Y muestran también que las competencias necesarias no están al alcance del alumno en la enseñanza secundaria. Las dificultades de los estudiantes muestran por su parte que el dominio de estas competencias, dejada visiblemente a la responsabilidad de los estudiantes, no se construye fácilmente.

Résumé

De nombreuses recherches ont envisagé les rapports des élèves avec les représentations graphiques dans l’activité mathématique, à différents niveaux de scolarité. Notre propre recherche concerne plus précisément l’enseignement supérieur et le domaine de l’analyse mathématique. Nous essayons d’identifier les fonctionnalités que peuvent avoir dans ce cas les représentations graphiques, en nous situant par rapport aux catégorisations fournies par les travaux de Lacasta et Chauvat. Dans cet article, après avoir précisé les fondements théoriques de la recherche, nous présentons d’abord brièvement les résultats concernant le rapport institutionnel aux représentations graphiques issu de l’analyse de manuels. Nous nous centrons sur un des problèmes d’analyse ayant servi de support à la phase expérimentale de la recherche, menée en France et en Italie, avec des étudiants avancés et des mathématiciens. Nous en faisons une analyse a priori, du point de vue des interventions possibles du registre graphique, puis confrontons cette analyse a priori aux productions d’un groupe d’étudiants italiens, avant de synthétiser plus globalement les résultats obtenus. Ces derniers montrent la nécessité d’élargir les catégorisations initiales pour prendre en compte de façon efficace les rôles potentiels du registre graphique dans la résolution de tels problèmes ; ils montrent aussi que les fonctionnalités requises ne sont pas à la charge de l’élève dans l’enseignement secondaire. Les difficultés rencontrées par les étudiants montrent que la maîtrise de ces fonctionnalités, laissée visiblement à la charge des étudiants, ne se construit pas aisément.