La transposición didáctica de organizaciones matemáticas en proceso de algebrización: El caso de la proporcionalidad

Résumé
À partir du modèle général d’activité mathématique que propose la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD), nous avons élaboré un modèle spécifique de l’algèbre élémentaire regardée initialement comme un instrument de l’activité mathématique, qui culmine dans la modélisation algébrique et dont l’utilisation systématique peut arriver à modifier en profondeur la nature des organisations mathématico-didactiques. La présentation, à titre d’illustration, de deux modélisations successives d’un système numérique nous permet de définir ce que nous entendons par « modélisation algébrique » et par « degré d’algébrisation » d’une organisation mathématique. Nous appliquons alors ces résultats à l’analyse du degré d’algébrisation d’une organisation mathématique scolaire qui se développe autour de la proportionnalité des grandeurs. Nous entendons expliquer, en particulier, les processus transpositifs qui ont permis de reconstruire cette organisation telle qu’elle apparaît actuellement en Espagne dans l’Enseignement Secondaire Obligatoire, pour pouvoir analyser, plus généralement, les contraintes mathématiques et didactiques qui affectent le processus d’algébrisation des organisations mathématiques scolaires. Il faut pour cela raffiner la notion même de transposition didactique en prenant en compte le fait que celle-ci n’agit pas sur des objets mathématiques isolés mais sur des praxéologies mathématiques douées d’une dynamique complexe, et soumises à un processus de réorganisation permanente.

Abstract
Starting from the general model of mathematical activity proposed by the Anthropological Theory of Didactics (TAD), we have elaborated a specific model of elementary algebra interpreted initially as an instrument of mathematical activity that culminates in algebraic modeling and whose systematic use can eventually modify profoundly the nature of mathematical-didactic structures. The presentation, as an illustration, of two successive modelings of a numerical system enables us to understand what we mean by algebraic modeling and by degree of algebraization of a mathematical structure. We then apply these results to analyze the degree of algebraization of a structure from school mathematics : that which develops around proportionality of magnitudes. In particular, we attempt to explain the transpositional processes that make it possible to reconstruct that structure as it currently appears in Spain in Compulsory Secondary Education, so as to analyze more generally the mathematical and didactical constraints that affect the process of algebraization of the structures of school mathematics. For that analysis, it is necessary to refine the concept of didactic transposition by taking into consideration that it acts not on isolated mathematical objects but on mathematical praxeologies equipped with a complex dynamics and also subject to a process of permanent restructuring.

Resumen
Partiendo del modelo general de la actividad matemática que propone la Teorà­a Antropológica de lo Didáctico (TAD), hemos elaborado un modelo especà­fico del álgebra elemental interpretada inicialmente como un instrumento de la actividad matemática que culmina en la modelización algebraica y cuya utilización sistemática llega a modificar profundamente la naturaleza de las organizaciones matemático-didácticas. La presentación, a tà­tulo de ilustración, de dos modelizaciones sucesivas de un sistema numérico nos permite definir lo que entendemos por « modelización algebraica » y por « grado de algebrización » de una organización matemática. Aplicamos entonces estos resultados al análisis del grado de algebrización de una organización matemática escolar : la que se desarrolla en torno a la proporcionalidad de magnitudes. Queremos explicar, en particular, los procesos transpositivos que han permitido reconstruir dicha organización tal como aparece actualmente en España en la Enseñanza Secundaria Obligatoria, para analizar, más en general, las restricciones matemático-didácticas que afectan al proceso de algebrización de las organizaciones matemáticas escolares. Para ello será preciso afinar la noción misma de ’transposición didácticaâ ? y tomar en consideración que ésta no actàºa sobre objetos matemáticos aislados, sino sobre praxeologà­as matemáticas dotadas de una dinámica compleja y que, además, están sometidas a un proceso de reorganización permanente.