Knowing about “equal area” while proving a claim about equal areas

Résumé

Quel rôle peut jouer la preuve dans l’acquisition des connaissances en classe de mathématiques? Cet article montre comment l’activité qui conduit à fournir une preuve n’amène pas seulement les élèves à utiliser des connaissances acquises, mais aussi à étendre et à réorganiser ces connaissances.

J’examine dans cet article le rôle joué par le raisonnement mathématique dans la formation et l’explication de l’équivalence d’aires dans huit classes américaines de niveau lycée. Je décris le travail des élèves sur la résolution d’un problème qui exige la construction de triangles et la démonstration que leurs aires sont équivalentes. Les différentes tâches engagées dans ce travail permettent d’observer et de décrire quatre conceptions d’équivalence d’aire différentes. J’ai utilisé cette diversité des conceptions pour permettre une discussion plus générale sur le rôle de la preuve dans la genèse publique des connaissances. Je montre que ni les définitions des concepts ni les règles strictes de la preuve ne sont nécessaires si l’on ne s’intéresse qu’à la preuve de propositions particulières, au sujet de concepts particuliers. Au contraire, l’activité qui conduit à fournir une preuve peut aider à se poser des questions sur les conceptions existantes et les développer en conceptions plus sophistiquées. Ce travail peut se faire au sein des activités qui, tout en s’appuyant sur les normes usuelles de la preuve, incitent à réfléchir à la façon dont ces normes devraient s’appliquer et ce que l’on pourrait apprendre.

Resumen

¿Qué papel le cabe a la prueba en la construcción de conocimientos públicos en la clase de matemáticas? Este artículo muestra como la actividad de producir una prueba puede no solamente involucrar a los estudiantes en el uso de conocimientos anteriores sino también en la extensión y reorganización de esos conocimientos. El artículo examina el papel que le cupo al razonamiento matemático en dar forma y hacer explícita la noción de equivalencia de áreas en ocho clases de geometría en una escuela secundaria estadounidense cuyos estudiantes se ocuparon de resolver un problema que requería construir triángulos de áreas iguales y probar que tal construcción era correcta. Las tareas encontradas en tal trabajo crearon condiciones que permitieron observar cuatro concepciones distintas de la equivalencia de áreas, las cuales se describen en el artículo. Se utiliza la diversidad de concepciones observadas para llamar atención a una discusión más general acerca del papel de la prueba en la construcción de conocimientos. Se argumenta asimismo que ni definiciones definitivas de los conceptos involucrados ni estándares estrictos sobre qué cuenta como demostración son imprescindibles para involucrar a los estudiantes en probar afirmaciones específicas sobre ideas específicas. Por el contrario, la actividad de probar puede servir para cuestionar los conocimientos anteriores y desarrollarlos en conocimientos más sofisticados. Esto puede hacerse en el contexto de actividades que se apoyen en estándares corrientes que regulan lo que cuenta como un argumento acceptable pero tambien promuevan una renegociación de cómo aplican esos estándares considerando lo que podría llegar a saberse con ellos.

Abstract

What role can proving play in the development of public knowledge in classrooms? This article shows how the activity of proving may not only engage students in making use of a base of public knowledge but also in extending and reorganizing the ideas that constitute such base of public knowledge. The article examines the role that mathematical reasoning played in shaping and making explicit a notion of area equivalence in eight American high school geometry classes as students worked in solving a problem that required making triangles of equal area and proving that their areas were equal. The various tasks involved in such work created conditions for observing four distinct conceptions of equal area, which are described in the article. The diversity of conceptions observed is used to bring to the fore a more general discussion on the role that proving can play in making a concept reasonable. It is also argued that neither final definitions for concepts nor stringent standards of proof are needed to engage students in proving particular claims about particular ideas. On the contrary, the activity of proving can elicit existing conceptions and develop them into more sophisticated conceptions. This can be done in the context of activities that, while relying on the standards of customary proving practices, also promote a negotiation of how those standards should apply on account of what is there to know with them.