Exploitation d’un outil épistémologique pour l’analyse de raisonnements d’élèves confrontés à la résolution de problèmes en arithmétique

Résumé

Au sein du raisonnement en arithmétique, nous distinguons deux dimensions que nous avons qualifiées respectivement de dimension organisatrice et dimension opératoire : la première est coextensive à la « visée » du mathématicien (c’est-à -dire son « programme », explicite ou non) et la seconde est relative à l’ensemble des traitements développés pour permettre la mise en oeuvre des différentes étapes de la mise en acte de la « visée ». Dans cet article, qui a pour origine notre recherche de thèse, nous tentons de montrer la pertinence de cette distinction pour analyser les raisonnements d’élèves de terminale scientifique confrontés à la résolution d’un problème arithmétique. Dans une première partie, nous introduisons cette distinction entre dimension organisatrice et dimension opératoire sur un exemple historique, puis nous étudions les interactions entre ces deux dimensions à propos du problème de l’irrationalité de rac(n) (n entier non carré). Dans une deuxième partie, nous illustrons l’intérêt didactique de cette distinction par l’analyse du processus de production de preuve arithmétique de l’irrationalité de rac(2) et de rac(3) par des élèves de terminale scientifique.

Mots-clés : Arithmétique, démonstration, dimension organisatrice, dimension opératoire, épistémologie, irrationalité, raisonnement mathématique, terminale scientifique.

Abstract

We distinguish two complementary dimensions of arithmetic reasoning called, respectively, the organizing dimension and the operative dimension. The first concerns the mathematician’s ‘aim’ (i.e., his or her ‘program’ explicit or not), and the second relates to those treatments developed for implementing the different steps of the aim. In this article, which stems from our thesis research, we attempt to demonstrate the relevance of this distinction for analyzing the reasoning of students confronted with solving an arithmetic problem. The first part of the article introduces the differentiation between the organizing and the operative dimension through a historical example, examining the interactions between these two dimensions in the problem of the irrationality of rac(n) (where n is a nonsquare integer). In the second part, we illustrate the didactic interest of this differentiation by analyzing the process adopted by a class of students (18-year-olds in Grade 12) to produce arithmetic proofs of the irrationality of rac(2) and rac(3).

Resumen

En el razonamiento aritmético distinguimos dos dimensiones que hemos calificado de dimensión organizadora y dimensión operativa respectivamente : la primera remite al ’objetivo’ del matemático (es decir su ’programa’ , sea o no explà­cito) y la segunda refiere al conjunto de tratamientos desarrollados para permitir la implementación de las diferentes etapas de la puesta en acto de este ’objetivo’ . En este artà­culo, cuyo origen es nuestra investigación doctoral, intentamos mostrar la pertinencia de esta distinción para analizar los razonamientos de los alumnos del ultimo curso del bachillerato cientà­fico (17-18 años) cuando se enfrentan a la resolución de un problema aritmético. En una primera parte introducimos esta distinción entre dimensión organizadora y dimensión operativa sobre un ejemplo histórico. Después estudiamos las interacciones entre estas dos dimensiones en relación al problema de la irracionalidad de rac(n) (n entero no cuadrado). En una segunda parte ilustramos el interés de esta distinción para analizar el proceso de producción de una prueba aritmética de la irracionalidad de rac(2) y de rac(3) por alumnos del ultimo curso del bachillerato cientà­fico.