Travailler avec, travailler sur la notion de praxéologie mathématique pour décrire les besoins d’apprentissage ignorés par les institutions d’enseignement

Abstract

Using tools proposed by the Anthropological Theory of Didactics, we deal in this article with the institutionally ignored learning that pupils must engage in if they are to succeed in mathematics in the French educational system. Borrowing from the work of Aline Robert, we define analysis tools that allow us to differentiate several intervention levels of a specified Mathematical Organization (MO) in a problem and thus to consider a progression in the body of exercises proposed for the pupils. We thereby introduce the idea of a praxical curriculum in a teaching institution: Mainly ignored by official texts, the stages of the praxical curriculum are established from a study of the exercises and problems pupils actually face; the stages are described in terms of MOs and the intervention levels of those MOs. We also use specified MOs to describe the learning that a praxical curriculum requires. This approach leads us to develop the notion of technology in which we distinguish a theoretical component and a practical one. Furthermore, we introduce what we call a complex specified Mathematical Organization related to problems of type T; this structure integrates in a common structure the various simple specified MOs concerning T. These complex MOs supply us with a model for the learning required by the upper levels of MO intervention. Finally, we question whether a progressive praxical curriculum could survive in the French system of mathematics education.

Resumen

Considerando algunas herramientas de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, este artículo trata de los aprendizajes que no aparecen como objetivos explícitos en los programas oficiales, sin embargo los alumnos deben ponerlos en acción para tener éxito en matemáticas en el sistema de enseñanza francés. Apoyándonos en los trabajos de Aline Robert definimos herramientas de análisis que nos permiten diferenciar los niveles de intervención de una Organización Matemática puntualen un problema y a partir de ello proyectar lo que puede ser una progresión de ejercicios a proponer a los alumnos. Introducimos la noción de currículo práxico en una institución de enseñanza, la cual no es explicitada institucionalmente; determinamos las etapas de este currículo a partir de conjuntos de ejercicios y problemas que los alumnos efectivamente deben enfrentar; ellas se formulan en términos de OM y de sus niveles de intervención. Recurrimos nuevamente a las Organizaciones Mate- máticas puntuales para modelar los aprendizajes requeridos por un currículo práxico. Esto nos lleva a desarrollar la noción de tecnología en la cual distinguimos dos componentes, una práctica y otra teórica. Además, definimos la noción de Organización Matemática puntual compleja asociada a un tipo de tareas T; se trata de integrar las Organizaciones Matemáticas puntuales simples (una sola técnica) relativas a T en una estructura común. Estas organizaciones permiten modelar los aprendizajes requeridos por los niveles superiores de intervención de las OM. Finalmente, estudiamos la viabilidad del trabajo de los diferentes niveles de intervención de una OM teniendo en cuenta las exigencias de la enseñanza de las matemáticas.

Résumé

Prenant essentiellement appui sur la Théorie Anthropologique du Didactique, nous nous intéressons dans cet article aux apprentissages non institutionnellement prescrits que les élèves doivent cependant réaliser pour réussir en ma- thématiques dans le système d’enseignement français. Empruntant aux travaux d’Aline Robert, nous définissons des outils d’analyse permettant de différencier les niveaux d’intervention d’une Organisation Mathématique (OM) ponctuelle dans un problème et donc d’envisager ce que peut être une progression au sein du corpus des exercices proposés aux élèves. Nous introduisons ainsi la notion de curriculum praxique dans une institution d’enseignement : pour l’essentiel non explicitées institutionnellement, les étapes de ce curriculum sont définies à partir des corpus d’exercices et problèmes effectivement prescrits aux élèves, elles s’expriment en termes d’OM et de niveaux d’intervention de ces OM. Nous recourons à nouveau aux Organisations Mathématiques ponctuelles pour modéliser les enjeux d’apprentissage requis par un curriculum praxique. Ceci nous conduit à développer la notion de technologie en y distinguant deux composantes, respectivement pratique et théorique. Par ailleurs, nous définissons la notion d’Organisation Mathématique ponctuelle complexe associée à un type de tâches T ; il s’agit d’intégrer au sein d’une structure commune les différentes Organisations Mathématiques ponctuelles simples (une seule technique) relatives à T. Ces organisations permettent de modéliser les apprentissages requis par les niveaux supérieurs d’intervention des OM. Nous abordons pour finir la question de la viabilité du travail des différents niveaux d’intervention d’une OM compte tenu des contraintes pesant sur l’enseignement des mathématiques.

Mots-clés : Implicites scolaires, résolution de problèmes, Organisations Mathématiques, technologie.