Formaliser, unifier et généraliser : une alternative pour l’enseignement du calcul algébrique au collège ?

Résumé

Cet article s’intéresse à l’élaboration d’alternatives pour l’enseignement du calcul algébrique au collège et en particulier à la propriété de distributivité qui joue un rôle central. En appui sur des recherches antérieures en didactique de l’algèbre et au regard de difficultés protomathématiques (Chevallard), prégnantes du côté des élèves, nous envisageons de nouvelles formes de savoirs à enseigner accompagnant les savoirs mathématiques et liées aux aspects sémantiques et syntaxiques des écritures symboliques algébriques. La notion de transformation de mouvement (Drouhard) et l’exploration d’enjeux formalisateur, unificateur et généralisateur (Robert) amènent à considérer un domaine d’étude plus large, à la fois numérique et algébrique. L’étude d’une organisation possible des savoirs à enseigner sur la distributivité permet de dégager des conditions et des contraintes pour élaborer une ingénierie didactique. Les résultats d’une expérimentation en classe de 5e (élèves de 12‑13 ans) à partir d’analyses a priori et a posteriori, concernent les discours dont les élèves parviennent à s’emparer, justifiant et soutenant leurs techniques de calcul, ainsi que les organisations de connaissances qui émergent.

Mots-Clés : enseignement de l’algèbre, calcul algébrique, distributivité, sémiolinguistique.

Abstract

Formalizing, unifying, generalizing: an alternative for the teaching of algebraic calculation?

This article seeks to explore alternatives for the teaching of algebraic calculation in middle school, and more specifically of the distributive law that plays a central role. Drawing on prior research on didactic of algebra, and given the protomathematics difficulties (Chevallard) constantly arising in students’ work, we consider new forms of knowledge, along with mathematical knowledge, that would be linked to semantic and syntactic aspects of symbolic algebraic expressions. Exploring the notion of movement transformation (Drouhard) and the potential of formalizing, unifying, and generalizing (Robert), brings out the distributive law in a larger study field both numerical and algebraic. The study of a possible organization of the knowledge to be taught yields a set of conditions and constraints to design a didactic situation. The results from a first experiment in a 5th grade class (12‑13 year olds) are based on a priori and a posteriori analysis. They focus on the discourses built and used by the students, justifying and supporting their manipulations, along with the knowledge organizations which emerge.

Key words: teaching of algebra, algebraic calculation, distributive law, semiolinguistics.

Resumen

Formalizar, unificar y generalizar: ¿una alter-nativa para la enseñanza del cálculo algrebraico?

En este artículo, nos interesamos por la elaboración de una alternativa para la enseñanza del cálculo algebraico en la secundaria obligatoria (collège) y, en particular, por la propiedad distributiva que desempeña un papel central. Apoyándonos en otras investigaciones en didáctica del álgebra, y frente a las dificultades protomatemáticas (Chevallard) de los estudiantes, examinamos nuevas formas de saberes por enseñar que acompañan a los saberes matemáticos y que están relacionadas con los aspectos semánticos y sintácticos de las escrituras algebraicas simbólicas. La noción de transformación de movimiento (Drouhard) y el estudio de los aspectos formalizador, unificador y generalizador (Robert) llevan a considerar un ámbito de estudio más amplio, numérico y algebraico a la vez. El estudio de un posible organización de los saberes por enseñar sobre la propiedad distributiva permite sacar condiciones y restricciones para elaborar una ingeniería didáctica. Los resultados de una experimentación en 2º curso de la secundaria obligatoria (alumnos de 12-13 años) elaborados a partir de análisis a priori y a posteriori, se refieren a los discursos que utilizan los alumnos para justificar y apoyar sus técnicas de cálculo, así como a las organizaciones de saberes que emergen.

Palabras-claves: enseñanza del algebra, cálculo algebraico, propiedad distributiva, semiolingüística.